L’Intégrale Simple by Alain Prouté

By Alain Prouté

Définition des fonctions réglées et en escalier. Définition de leur intégrale sur un intervalle. innovations de calcul. Majorations. Intégrales généralisées. Intégrales dépendant d'un paramètre. Exercices corrigés.

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La d´erivation par rapport `a α donne : Iα = 1 2 +∞ 2 −2xe−x sin(αx)dx, 0 qui pour les mˆemes raisons est uniform´ement convergente, ce qui justifie cette d´erivation. 2 2 Comme x → −2xe−x est la d´eriv´ee de x → e−x , en int´egrant par parties, on obtient : Iα = 1 −x2 α e sin(αx) − 2 2 +∞ 2 e−x cos(αx)dx = − 0 α 2 +∞ 2 e−x cos(αx)dx. 0 α2 α On a donc Iα = − Iα . En d´erivant par rapport `a α l’expression Iα e 4 , on trouve 0. Cette expression 2 α2 est donc une constante A. On a donc Iα = Ae− 4 .

En d´erivant l’int´egrale Iα propos´ee par rapport `a α, on trouve : +∞ Iα = 2 e−αx dx, 0 qui est une int´egrale uniform´ement convergente pour α dans ]0, A]. Ceci montre que cette d´erivation est licite. √ En faisant le changement de variable u = x α, et en utilisant l’int´egrale de Gauss, on trouve Iα = √ 1 √ π √ . On a donc Iα = πα + C, pour une certaine constante C. Mais C = I0 = 0. 2 α 5. a) Soit [α, β] un intervalle compact de ]0, +∞[ (0 < α < β), et soit x dans [α, β]. Pour t entre 0 et 1, e−t tx−1 est major´e ind´ependamment de x, par tα−1 .

C) Ceci r´esulte imm´ediatement des deux premi`eres relations ci-dessus, et de la continuit´e de Γ en 1. En effet : Γ(x) = xΓ(x) = Γ(x + 1) 1 x qui tend vers 1 quand x tend vers 0. d) On a dt = xux−1 du, donc : Γ(1 + 1 ) = x = = 1 1 Γ( ) x x 1 ∞ −t 1 −1 e t x dt x 0 1 ∞ −ux 1−x x−1 e u xu du x 0 ∞ = x e−u du. 0 e) Il suffit de faire x = 2 dans la relation pr´ec´edente : 1 1 3 Γ( ) = Γ( ) = 2 2 2 √ 1 donc Γ( ) = π.

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