Intersections de deux quadriques et pinceaux de courbes de by Olivier Wittenberg

By Olivier Wittenberg

Cet ouvrage est consacré � l'arithmétique des surfaces fibrées en courbes de style 1 au-dessus de los angeles droite projective, et � l'arithmétique des intersections de deux quadriques dans l'espace projectif. Swinnerton-Dyer introduisit en 1993 une approach permettant d'étudier les issues rationnels des pinceaux de courbes de style 1. los angeles première moitié de l'ouvrage reprend et développe cette process ainsi que ses généralisations ultérieures. l. a. seconde moitié, qui repose sur l. a. première, porte sur les surfaces de del Pezzo de degré four et sur les intersections de deux quadriques de measurement supérieure; les résultats annoncés dans [C. R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), no. four, 223--227] y sont démontrés.

This examine monograph makes a speciality of the mathematics, over quantity fields, of
surfaces fibred into curves of genus 1 over the projective line, and of
intersections of 2 quadrics in projective house. the 1st part comprises a
complete account of the process initiated by means of Swinnerton-Dyer in 1993 for
studying rational issues on pencils of curves of genus 1, whereas incorporating
and generalising such a lot of its next refinements. the second one part, which
builds upon the 1st, is dedicated to quartic del Pezzo surfaces and
higher-dimensional intersections of 2 quadrics. It culminates within the proof
of the consequences introduced in [C. R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), no. 4,
223--227].

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Démonstration — La préadmissibilité du triplet (S, T , x) entraîne que H(UOS ) = a ∈ H(UOT ) ; ∀M ∈ M , ∀v ∈ TM , v(a(x)) = vM (a(x)) ∈ (Z/2)2 . 21, on déduit : ψ(N1 ) = S2 (A1k , E ) ∩ a ∈ H(UOS ) ; ∀v ∈ S, a(x)|Vv ∈ Wv (Ex ) + Kv , où a(x)|Vv désigne l’image de a(x) par la flèche naturelle H(k) → H(kv ) = Vv . Le membre de droite est évidemment indépendant de T , et il ne dépend pas non plus de x si l’on choisit les voisinages Av assez petits, comme le montre le lemme suivant. 24 — Pour tout v ∈ Ω, le sous-groupe Wv (Exv ) de H(kv ) est une fonction localement constante de xv ∈ U′ (kv ), où U′ = P1k \ M .

Arithmétique des pinceaux semi-stables I Il y a lieu de nommer S2 (C, E ) groupe de 2-Selmer géométrique (cf. 2]). 3 — On a l’inclusion S2 (C, E ) ⊂ H1 (U, 2 E ) de sous-groupes de H1 (K, 2 Eη ). 1) pour C = U avec la suite exacte obtenue de manière analogue à partir du faisceau 2 Eη , on obtient le diagramme commutatif 0 H1 (U, 2 E ) H1 (Ksh M , 2 Eη ) H1 (K, 2 Eη ) M∈U 0 H1 (U, E ) H1 (Ksh M , Eη ), H1 (K, Eη ) M∈U dont les lignes sont exactes. 12, compte tenu que Eη a bonne réduction en M. Comme les fibres de π sont réduites, on a XM (Ksh M ) = ∅ pour tout M ∈ C.

Autrement dit, si l’on note Y → U′kv un torseur sous EU′k dont la classe dans H1 (U′kv , E ) est l’image de α par la composée v H(kv ) ⊂ H(U′kv ) ⊂ H1 (U′kv , 2 E ) −→ H1 (U′kv , E ), on doit prouver que l’image de l’application Y(kv ) → U′ (kv ) est ouverte et fermée. Ces deux propriétés découlent respectivement de la lissité et de la propreté du morphisme Y → U′kv (l’image est ouverte d’après le théorème des fonctions implicites ; pour montrer qu’elle est fermée, on peut remarquer que le morphisme Y → U′kv est projectif, auquel cas l’assertion est évidente, ou se servir du lemme de Chow pour se ramener à cette situation).

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