Encyclopedia of Mathematics Sc-Ze by Barry Max Brandenberger

By Barry Max Brandenberger

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Periodic solutions of nonlinear wave equations with general nonlinearities

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Chinese mathematics competitions and olympiads: 1981-1993

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Es muss mittelwertfrei sein und die Zulässigkeitsbedingung (s. 10) erfüllen. Der Vorfaktor 1/ |a| garantiert dabei, dass sich die Energie der Wavelets bei der Skalierung nicht ändert. Diese Darstellung in der Zeit-Skalierungs-Ebene ist allerdings deutlich weniger anschaulich als die Darstellung in der Zeit-Frequenz-Ebene. Daher soll auf eine entsprechende Repräsentation übergegangen werden. Besitzt das Mutter-Wavelet ψ (t) die mittlere Zeit tψ = 0 und eine mittlere Frequenz fψ = 0, so ergeben sich mittlere Zeit und Frequenz des skalierten und verschobenen Wavelets zu tψa,b = b , fψa,b = fψ a .

7 (Frame, Tight Frame) Ein Funktionensystem {ϕi (t),i ∈ I} spanne einen Hilbert-Raum Φ auf, wobei I die Indexmenge aller Basisfunktionen darstellt. 5) so wird das Funktionensystem Frame genannt. Gilt A = B, so wird das Funktionensystem als Tight Frame bezeichnet. Dies bedeutet, dass jedes Signal x(t) ∈ Φ mit endlicher, aber von null verschiedener Energie Ex = x(t) 2 zu Frame-Koeffizienten x(t), ϕi (t) mit in der Summe endlicher, von null verschiedener Energie führt. 5) hinreichend und notwendig ist, damit das Signal x(t) aus den FrameKoeffizienten rekonstruiert werden kann.

Wie bereits erwähnt, stellt die unendliche Ausbreitung im Zeitbereich ein Problem bei der Analyse nichtstationärer Signale dar. Es liegt also nahe, das Problem dadurch zu lösen, indem man die Basisfunktionen zeitlich begrenzt. Dies geschieht durch Multiplikation der Basisfunktionen mit einem zeitlich kompakten Fenster γ (t). 2 Kurzzeit-Fourier-Transformation 15 des Fensters γ (t) das Signal x(t) analysieren kann, muss das Fenster zeitlich verschoben werden. 8 (Kurzzeit-Fourier-Transformation, STFT) Die Kurzzeit-Fourier-Transformierte des Signals x(t) bzgl.

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