Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Eine by Ernst Wienholtz, Hubert Kalf, Thomas Kriecherbauer

By Ernst Wienholtz, Hubert Kalf, Thomas Kriecherbauer

Dieses Lehrbuch bringt in einem stufenweisen Aufbau, ausgehend von der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen, über die Perronsche Methode zur Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung und den Kelloggschen Satz über das Randverhalten von Lösungen der Poissongleichung, eine Darstellung der klassischen Theorie linearer elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung. Der Zusammenhang mit schwachen Lösungen solcher Gleichungen wird hergestellt. Hervorzuheben sind zahlreiche neue und vereinfachte Beweise, so für die Symmetrie und die Abschätzung der Greenschen Funktion und ihrer Ableitungen. Der sparsame und effiziente Einsatz von Hilfsmitteln ermöglicht den Studierenden das Eindringen in dieses Gebiet bereits ab dem 2. Studienjahr. Die Beschreibung von Beweisvarianten erleichtert es dem Dozenten, für Vorlesung oder Seminar eine Auswahl zu treffen. Eine Besonderheit dieses Buches bilden die vielen historischen Bezüge und Literaturverweise, die auch dem Fachmann manches Neue bieten werden.

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ZN ) ∈ Bs (x, CN ) ist die Funktion f˜(·, z2 , . . , zN ) auf ur τ ∈ Br−s (z1 , C) der Punkt (τ, z2 , . . , zN ) in Br−s (z1 , C) holomorph. Da f¨ Br (x, CN ) liegt, liefert die Cauchysche Integralformel f˜z1 (z) ≤ 1 sup |f˜| . 10) gilt, so bilden wir Dk+1 u = k k r haben wir dann D D u und beachten, daß −ΔD u = D f ist. 7) die Behauptung f¨ ur k + 1 liefert. 5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung Nach der Laplacegleichung ist die Gleichung −Δu + λu = 0, λ ∈ R , die einfachste und bestuntersuchte elliptische Differentialgleichung.

Von vornherein) eine Schranke f¨ ur uxi (x) angeben, ganz gleich, um welche in Ω harmonische Funktion u mit m ≤ u ≤ M es sich handelt. 7. Es sei Ω ⊆ RN offen, und es sei −∞ < m < M < ∞. Dann ist |uxi (x)| ≤ N (M − m) 2r f¨ ur alle i = 1, . . , N , Br (x) ⊂⊂ Ω und f¨ ur alle auf Ω harmonischen u mit m ≤ u ≤ M . Insbesondere gilt im Falle ∂Ω = ∅ f¨ ur alle x ∈ Ω |uxi (x)| ≤ N (M − m) . 2 dist(x, ∂Ω) 26 2 Die Laplacegleichung M −m Beweis. Es sei w(x) := u(x) − m+M 2 . Dann ist |w(x)| ≤ 2 , und die Ableitungen von u und w stimmen miteinander u ¨berein.

Man kann die Aussagen a) und b) verwenden, um folgendes zu beweisen: c) F¨ ur U ⊂⊂ V ⊆ RN existiert W ⊆ RN mit U ⊂⊂ W ⊂⊂ V . Hinweis: U ⊂⊂ V impliziert definitionsgem¨aß U ⊆ V und die Offenheit von V . Also sind U und ∂V disjunkt, und somit gilt δ := dist(U , ∂V ) > 0. F¨ ur 0 < < δ ist W := {x ∈ RN : dist(x, U ) < } wegen a) offen, und es gilt U ⊆ W und W ⊆ V . Der folgende Satz ist ein klassisches Theorem u ¨ber harmonische Funktionen. 6 (Der lokale Teil des ersten Harnackschen Satzes). h. die auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ konvergiert.

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