Elements de la theorie des groupes by Daniel Schaub

By Daniel Schaub

Show description

Read or Download Elements de la theorie des groupes PDF

Similar french_1 books

Extra info for Elements de la theorie des groupes

Example text

La seule solution est donc α = β = 0 ou W = {0}. 1 Pour toute transformation orthogonale u d’un espace euclidien r´eel E, E est somme directe (orthogonale) de sous-espaces Vi irr´eductibles sous u de dimension 1 ou 2. 1 Si u ∈ O(E, q) et si V est u-stable, alors V ⊥ est u-stable. Preuve : Comme u(V ) ⊂ V et u injective, u(V ) = V , d’o` u aussi u∗ (V ) = u−1 (V ) = V (car u orthogonale ssi u∗ = u−1 ). Soit alors x ∈ V ⊥ , pour tout y ∈ V , < u(x), y >=< x, u∗ (y) >= 0 puisque u∗ (y) ∈ V . Donc u(x) ∈ V ⊥ .

Elle est irr´eductible (en effet, sinon il existe un sous-espace de V , invariant sous S3 de dimension 1, autrement dit il existe dans V un vecteur z = 0 tel que, pour tout g ∈ S3 , gz = λz ; pour g = (12), cela entraˆıne λ = z2 /z1 = z1 /z2 = z3 /z3 = 1, d’o` u z1 = z2 = z3 ⇒ 3z1 = 0 ⇒ z = 0). Nous verrons plus loin comment obtenir toutes les repr´esentations `a partir de celles-ci et que celles-ci sont les seules irr´eductibles. 4 Produit hermitien Soit ρ : G → Gl(V ) une repr´esentation du groupe fini G dans un espace hermitien V .

1 Une repr´esentation d’un groupe fini G sur un C-espace l vectoriel V , de dimension finie, est un homomorphisme de groupes ρ : G → Gl(V ). On dit aussi qu’on a muni V d’une structure de G-module (cela ´evite de faire r´ef´erence ` a ρ, ce qui, s’il n’y a pas de confusion possible, all`ege les notations). On note souvent ρ(g)(v) seulement par gv et on appelle degr´e de ρ la dimension de V . Exemples : 1) La repr´esentation triviale est donn´ee par ρ(g) = IdV , ∀g. 2) Soit G un groupe fini et V l’espace vectoriel engendr´e par G ie.

Download PDF sample

Rated 4.05 of 5 – based on 35 votes