# Einführung in die Theorie der Algebraischen Zahlen und by M. Eichler

By M. Eichler

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Man setzt jetzt r ri = + ph-Ir2 und lässt r 1 , r 2 je ein Restsystem mod ph-l und p durchlaufen. Ist r 1 :;i:. 0 mod p, so durchläuft mit r2 auch 2 r 1 r 2 ein volles Restsystem mod p, und man bekommt G(a, ph) = p Le(a p-h r~) + L e(a p-h r~) Le(a p- r,~omodp r 1 ;

2 G(a) = L v(a;) . (16) Ein Multiplum a von a wird nun auf zweierlei Arten dargestellt: a; E i , b; E i oo . Es ist also a; = b; x-v(a;). Die Bedingungen a; Ei, b; E ioo sind für v(a;) > 0 nicht erfüllbar; für 1•(a;) ~ 0 werden sie durch alle Polynome a; = a;(x) eines Grades ~ - v(a;) erfüllt. Es gibt mithin l(a) = :L(l- v(a;)) = :L(l- v(a;)) (17) v(ai) < 1 v(a;) 'S 0 bzgl. k 0 linear unabhängige Multipla. Die zu a; komplementäre Basis a7 ist eine Basis von ai = a{, und die zu x-v(ai) a; komplementäre Basis xv(a;) a7 ist eine Basis von a::O = x 2 a:X,.

Hierauf ziehen wir auch noch den dualen Raum kn* heran. Die zu den ap komplementären Moduln a; sind die Komponenten eines linearen Divisors a* von kn*; a und a* heissen zueinander komplementär. Beweis. Die Eigenschaft a) ergibt sich sofort aus § 1, 3. Ist die zu Wt komplementäre Basis, so bilden die w7 immer dann eine Basis von bzgl. ip, wenn die Wt eine Basis von ap bilden, das heisst fast immer. Es seien ap ,~. = ~ ap ,'ZJ. WJ (3) ~ w; Basen von ap (p = oo und f= oo). Ferner sei A = singuläre Matrix in k.