Apollonius de Perge, La section des droites selon des by Roshdi Rashed, Helene Bellosta

By Roshdi Rashed, Helene Bellosta

Einem einzigartigen und schwierigen challenge gewidmet, ist die Abhandlung Uber den Verhaltnisschnitt von Apollonius aus Perge ein bemerkenswert komplexes Beispiel fur die Erforschung der notwendigen Voraussetzungen fur die Existenz einer Losung. Der vorliegende Band bietet die editio princeps des nur arabisch uberlieferten Textes. Erschlossen wird er durch eine franzosische Ubersetzung und einen Kommentar, der die Mechanismen des schwierigen Beweises durch Apollonius aufzeigt und dabei besonders auf deren konzeptionelle Innovationen hinweist.

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Lieux 3 à 7 Si les points K, d'abscisse x sur (CD), et L, d'ordonnée y sur (AB), sont alignés avec H, on a : ay + bx =xy. Le problème d'Apollonius consiste à déterminer x et y vérifiant cette relation et tels que : IY-dl EL == = k (x"j:. c), GK x-c On a donc y (1) = d + Ek (x - soit y-d = Ek, avec E = 1 ou E =-1. x-c c) et kx 2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed) =0 équation de degré 2 en x. 1. Lieux 3 à 7, cas où E =M Dans les lieux 3 à 72 , traités dans le premier livre, E l'équation (1) devient: (2) kx 2 -x[k(a + c) + Eb] + kac de discriminant (2') L1(k) = e (a - Si l'on posef(x) f(c) =M, soit d =0, et =0 c) 2 + 2Ebk(a + c) + b 2 = [k(a + c) + Eb]2 - 4eac.

Troisième lieu: G K D EK -00 EL GK ° ° = E (c = 0) 1 E=G ? ° b a ? C ? 2 E=G Fig. 17 Le problème de La Section de rapport, équivalent à l'équation h(x) a alors deux solutions si k"* ~ a = IH El = k, (une sur [lC), l'autre sur (DE] si k < lB ou sur [El] si k> lB), une seule solution si k = ~ = IH (on doit El a El El avoir K"* E). ' 1 et G de part et d'autre de E (c < 0) K D EK -00 EL GK 0 o E G ? c ? 4 ? G ? 3 1 Fig. 2 1 ? 1. Lieux 3 à 7 L'équation h(x) = k et le problème posé ont alors toujours 4 solutions, une sur chacun des intervalles (DG], [GE], [El] et [lC).

X-c) = k, équation (2). J d'équation y = k. (x-c) ° Le troisième lieu correspond alors au cas où c = (G =E), le quatrième lieu au cas où ac < (1 et G de part et d'autre de E), le cinquième lieu au cas où a =c (G =I) et enfin les sixième et septième lieux au cas où ac > et a:;t: c (1 et G distincts et d'un même côté de E). Traçons donc dans chacun de ces cas la courbe -G". ° Troisième lieu: G K D EK -00 EL GK ° ° = E (c = 0) 1 E=G ? ° b a ? C ? 2 E=G Fig. 17 Le problème de La Section de rapport, équivalent à l'équation h(x) a alors deux solutions si k"* ~ a = IH El = k, (une sur [lC), l'autre sur (DE] si k < lB ou sur [El] si k> lB), une seule solution si k = ~ = IH (on doit El a El El avoir K"* E).

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