Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Rainer Vogt

By Rainer Vogt

Downloaded from https://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/fileadmin/mathematik/downloads/2010_alg_zahlentheorie_vogt.pdf
Sommersemester 2010

Show description

Read or Download Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

Similar algebraic geometry books

Riemann Surfaces

The idea of Riemann surfaces occupies a really precise position in arithmetic. it's a end result of a lot of conventional calculus, making awesome connections with geometry and mathematics. it truly is a really necessary a part of arithmetic, wisdom of that is wanted through experts in lots of different fields.

Residues and duality for projective algebraic varieties

This ebook, which grew out of lectures via E. Kunz for college students with a heritage in algebra and algebraic geometry, develops neighborhood and international duality thought within the particular case of (possibly singular) algebraic kinds over algebraically closed base fields. It describes duality and residue theorems by way of Kahler differential types and their residues.

Additional resources for Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes]

Sample text

8 n σ∈G σ(α) = m · ρi (α) = mSK(α)/K (α) = SF/K (α) i=1 m n σ(α) = ρi (α) = (NK(α)/K (α))m = NF/K (α). 10 Lemma: Sei F/K eine endliche separable K¨orpererweiterung, K ein algebraischer Abschluss von K und ϕ : K → K ein Homomorphismus. Dann gibt es genau [F : K] verschiedene Erweiterungen σ : F → K von ϕ. h. es gibt ein a ∈ F , so dass F = K(a). Ist f ∈ K[X] das Minimalpolynom von a, gilt [F : K] = grad f . Da f separabel ist, hat es nur einfache Nullstellen in K. 9 genau grad(f ) viele verschiedene Erweiterungen σ : F → K von ϕ.

Es −1 folgt p ⊂ R, im Widerspruch zu (∗). 14 Aufgabe: Ermitteln Sie die Aussagen des Zorn’schen Lemmas und des Auswahlaxioms. Finden Sie heraus, was die beiden miteinander zu tun haben. Beweisen Sie mit Hilfe des Zorn’schen Lemmas: Jedes Ideal eines Ringes R ist in einem maximalen Ideal enthalten. 10 Existenz: Sei F die Familie aller von (0) und R verschiedenen Ideale, die keine Primzerlegung besitzen. Ist F nicht leer, besitzt 55 es maximale Elemente J, da R noethersch ist. 14 liegt J in einem maximalen Ideal p.

11 Die pk lassen sich rekursiv wie folgt berechnen k (n − k)an−k = p0 = n p1 = −an−1 Beweis: f ′ = n i=0 f′ = f an−j pk−j 0≤k≤n an−j pk−j k > n. j=0 k 0 = j=0 i·ai ·X i−1 = n k=1 n n k=1 i=k 1 = X − αk n k=1 (X −αi ). Es folgt wegen f = 1 1 · = X 1 − αXk ∞ n k=1 j=0 i=1 (X −αi ) αki X j+1 Also n n iai X i−1 = i=0 i=0 ∞ ai X i · j=0 α1j + α2j + . . + αnj X j+1 n = i=0 ai X i · ∞ j=0 pj X j+1 Umkehren der Summationsreihenfolge gibt n i=0 n (n − i)an−i X n−i−1 = i=0 j+k=i an−k · pj · X n−i−1 Koeffizientenvergleich ergibt i (n − i)an−i = k=0 i 0 = k=0 an−k · pi−k 0≤i≤n an−k · pi−k i > n.

Download PDF sample

Rated 4.17 of 5 – based on 44 votes