Advances in Moduli Theory by Yuji Shimizu and Kenji Ueno

By Yuji Shimizu and Kenji Ueno

Shimizu and Ueno (no credentials indexed) give some thought to a number of facets of the moduli concept from a posh analytic standpoint. they supply a quick creation to the Kodaira-Spencer deformation concept, Torelli's theorem, Hodge conception, and non-abelian conformal thought as formulated by means of Tsuchiya, Ueno, and Yamada. in addition they speak about the relation of non-abelian conformal box thought to the moduli of vector bundles on a closed Riemann floor, and convey easy methods to build the moduli idea of polarized abelian forms.

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Démonstration — La préadmissibilité du triplet (S, T , x) entraîne que H(UOS ) = a ∈ H(UOT ) ; ∀M ∈ M , ∀v ∈ TM , v(a(x)) = vM (a(x)) ∈ (Z/2)2 . 21, on déduit : ψ(N1 ) = S2 (A1k , E ) ∩ a ∈ H(UOS ) ; ∀v ∈ S, a(x)|Vv ∈ Wv (Ex ) + Kv , où a(x)|Vv désigne l’image de a(x) par la flèche naturelle H(k) → H(kv ) = Vv . Le membre de droite est évidemment indépendant de T , et il ne dépend pas non plus de x si l’on choisit les voisinages Av assez petits, comme le montre le lemme suivant. 24 — Pour tout v ∈ Ω, le sous-groupe Wv (Exv ) de H(kv ) est une fonction localement constante de xv ∈ U′ (kv ), où U′ = P1k \ M .

Arithmétique des pinceaux semi-stables I Il y a lieu de nommer S2 (C, E ) groupe de 2-Selmer géométrique (cf. 2]). 3 — On a l’inclusion S2 (C, E ) ⊂ H1 (U, 2 E ) de sous-groupes de H1 (K, 2 Eη ). 1) pour C = U avec la suite exacte obtenue de manière analogue à partir du faisceau 2 Eη , on obtient le diagramme commutatif 0 H1 (U, 2 E ) H1 (Ksh M , 2 Eη ) H1 (K, 2 Eη ) M∈U 0 H1 (U, E ) H1 (Ksh M , Eη ), H1 (K, Eη ) M∈U dont les lignes sont exactes. 12, compte tenu que Eη a bonne réduction en M. Comme les fibres de π sont réduites, on a XM (Ksh M ) = ∅ pour tout M ∈ C.

Autrement dit, si l’on note Y → U′kv un torseur sous EU′k dont la classe dans H1 (U′kv , E ) est l’image de α par la composée v H(kv ) ⊂ H(U′kv ) ⊂ H1 (U′kv , 2 E ) −→ H1 (U′kv , E ), on doit prouver que l’image de l’application Y(kv ) → U′ (kv ) est ouverte et fermée. Ces deux propriétés découlent respectivement de la lissité et de la propreté du morphisme Y → U′kv (l’image est ouverte d’après le théorème des fonctions implicites ; pour montrer qu’elle est fermée, on peut remarquer que le morphisme Y → U′kv est projectif, auquel cas l’assertion est évidente, ou se servir du lemme de Chow pour se ramener à cette situation).

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